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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 4: Límites y Continuidad

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1. Calcule los siguientes límites
i) lim⁡x→+∞(x−x2+1)\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x-\sqrt{x^{2}+1}\right)

Respuesta

Ahora tenemos que resolver este límite: lim⁡x→+∞(x−x2+1) \lim _{x \rightarrow +\infty} \left(x - \sqrt{x^{2} + 1}\right) Fijate que al reemplazar x x por +∞ +\infty obtenemos una indeterminación de tipo ∞−∞ \infty - \infty . Para salvar esta indeterminación, especialmente cuando nos aparecen raíces cuadradas ahí dando vueltas, en clase vimos que una estrategia que puede ser útil es multiplicar y dividir por el conjugado. Si hacemos nos quedaría:

lim⁡x→+∞(x−x2+1)⋅(x+x2+1)x+x2+1 \lim _{x \rightarrow +\infty} \left(x - \sqrt{x^2 + 1}\right) \cdot \frac{(x + \sqrt{x^2 + 1})}{x + \sqrt{x^2 + 1}}

lim⁡x→+∞(x−x2+1)(x+x2+1)x+x2+1 \lim _{x \rightarrow +\infty} \frac{(x - \sqrt{x^2 + 1}) (x + \sqrt{x^2 + 1})}{x + \sqrt{x^2 + 1}}
  En el numerador nos quedó algo multiplicado por su conjugado, eso nos quedaría simplemente como una diferencia de cuadrados (es decir, el primer término al cuadrado menos\textbf{menos} el segundo término al cuadrado) lim⁡x→+∞x2−(x2+1)x+x2+1=lim⁡x→+∞−1x+x2+1 \lim _{x \rightarrow +\infty} \frac{x^2 - (x^2 + 1)}{x + \sqrt{x^2 + 1}} = \lim _{x \rightarrow +\infty} \frac{-1}{x + \sqrt{x^2 + 1}}
Fijate que si tomamos límite, el numerador tiende a −1-1 y el denominador tiende a +∞+\infty... Por lo tanto, número sobre algo que tiende a infinito es cero, perfecto, todo hermoso, salvamos la indeterminación, este límite nos diooo... lim⁡x→+∞(x−x2+1)=0 \lim _{x \rightarrow +\infty} \left(x - \sqrt{x^2 + 1}\right) = 0
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