Volver a Guía
Ir al curso
CURSO RELACIONADO
Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
¿Te está ayudando la guía resuelta?
Sumate a nuestro curso, donde te enseño toda la materia de forma súper simple. 🥰
Ir al curso
ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
1.
Calcule los siguientes límites
i) $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x-\sqrt{x^{2}+1}\right)$
i) $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x-\sqrt{x^{2}+1}\right)$
Respuesta
Ahora tenemos que resolver este límite:
$ \lim _{x \rightarrow +\infty} \left(x - \sqrt{x^{2} + 1}\right) $
Fijate que al reemplazar \( x \) por \( +\infty \) obtenemos una indeterminación de tipo \( \infty - \infty \). Para salvar esta indeterminación, especialmente cuando nos aparecen raíces cuadradas ahí dando vueltas, en clase vimos que una estrategia que puede ser útil es multiplicar y dividir por el conjugado. Si hacemos nos quedaría:
Reportar problema
$ \lim _{x \rightarrow +\infty} \left(x - \sqrt{x^2 + 1}\right) \cdot \frac{(x + \sqrt{x^2 + 1})}{x + \sqrt{x^2 + 1}} $
$ \lim _{x \rightarrow +\infty} \frac{(x - \sqrt{x^2 + 1}) (x + \sqrt{x^2 + 1})}{x + \sqrt{x^2 + 1}} $
En el numerador nos quedó algo multiplicado por su conjugado, eso nos quedaría simplemente como una diferencia de cuadrados (es decir, el primer término al cuadrado $\textbf{menos}$ el segundo término al cuadrado)
$ \lim _{x \rightarrow +\infty} \frac{x^2 - (x^2 + 1)}{x + \sqrt{x^2 + 1}} = \lim _{x \rightarrow +\infty} \frac{-1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} $
Fijate que si tomamos límite, el numerador tiende a $-1$ y el denominador tiende a $+\infty$... Por lo tanto, número sobre algo que tiende a infinito es cero, perfecto, todo hermoso, salvamos la indeterminación, este límite nos diooo...
$ \lim _{x \rightarrow +\infty} \left(x - \sqrt{x^2 + 1}\right) = 0 $